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Matemática para Excel - Frações

Esta primeira parte é dedicada à revisão de alguns conceitos matemáticos que serão úteis no desenvolvimento da matemática financeira no Excel bem como outros aspectos que requerem conhecimento de matemática.

Esta série de artigos online está interessado no aspecto prático da matemática utilizada na área financeira (e econômica), portanto não espere encontrar longas conversas sobre teorias de conjuntos ou números. Tudo que estamos interessados é como resolver o problema utilizando as ferramentas matemáticas a nossa disposição.

Não obstante, será necessária uma revisão para que o leitor relembre de alguns aspectos básicos de matemática que são facilmente esquecidos, mas que desempenharão papel crucial quando o assunto é Excel. O módulo é centrado em uma breve introdução ao conceito e polarizado nos exercícios que ajudarão o leitor a fixar as fórmulas utilizadas na série de artigos.

A revisão é composta por frações, expoentes, radicais e logaritmos. Iniciaremos por frações.

FRAÇÕES

Uma fração é composta por dois termos: numerador e denominador. Uma fração nada mais é do que uma divisão e pode ter vários significados dependendo de sua aplicação. Por exemplo, ¾ pode ser interpretado como 3 dividido por 4 ou como três partes de um total de quatro partes.

Esta razão tem papel crucial na área financeira e poucas vezes seu papel é compreendido, ou até mesmo explicado, ao estudante. A fração ¾ pode ser interpretada como um percentual onde 3 partes de um total de quatro partes representam 75% ou 0,75 do total. Portanto, o numerador pode ser interpretado como o percentual do denominador.

Se você é confrontado com a fração 5/4, você está observando 25% ou 1+0,25 do total. Estarei voltando a está discussão mais adiante, mas preferi preparar o leitor a partir deste momento.

Manipulações básicas de frações se resumem a soma, subtração, multiplicação e divisão. Como somas e subtrações seguem a mesma linha para solução. E multiplicações e divisões também se encaixam no mesmo grupo, as tratarei em conjunto.

Se você é confrontado com uma soma ou subtração de frações onde os denominadores de cada fração são iguais, basta fazer uma soma ou subtração direta. Por exemplo:

 Somas e subtrações de frações ficam um pouco mais complexas quando os denominadores são diferentes:

Nos dois casos acima, o denominador implícito de 3 e 4 é 1. Isto ocorre porque qualquer número dividido por 1 é igual a ele mesmo. Mas como resolver o problema? Uma solução é calcular o ‘Mínimo Múltiplo Comum’ (MMC) de 8 e 1, os denominadores comuns entre as duas frações. No exemplo acima o mais fácil é fazer uma multiplicação cruzada e somar os numeradores:

Aqui, sabemos implicitamente que o MMC de 8 e 1 é 8. Portanto, o numerador da primeira fração é multiplicado pelo resultado da divisão do MMC por cada denominador, isto é, 5 é multiplicado por 8/8 e 3 é multiplicado por 8/1. Para deixar a situação mais clara observe os exemplos:

Qual o resultado da soma e da subtração? Primeiramente, precisamos encontrar o MMC de 8 e 4 para a soma e o MMC de 8 e 9 para a segunda fração. O processo de decomposição simultânea pode ser utilizado para encontrar o MMC. O processo consiste na divisão sistemática e simultânea dos denominadores. Os divisores utilizados são, então, multiplicados para encontrar o MMC:

O MMC do primeiro caso é 8. Para o segundo:

O MMC do segundo caso é 72. Como explicado, cada numerador deve ser multiplicado pelo resultado da divisão do MMC pelo respectivo denominador e a soma ou subtração feita:

Ambos os resultados podem ser obtidos através de uma multiplicação direta:

Multiplicação e divisão de frações Multiplicação de fração não tem muito que explicar. Dada duas frações, basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:

Divisão de fração traz para cena a regra de recíprocas. Vamos supor que você seja confrontado com o número 3. Qual a recíproca deste número? A recíproca de 3 é 1/3. Porquê? Isto tem a ver com a própria natureza da multiplicação apresentada anteriormente. Observe o primeiro caso:

Você sabe que o resultado é 15/32, mas se você precisasse encontrar ¾, como proceder? Para facilitar a compreensão, vamos chamar ¾ de x e quebrar a fração 5/8 em duas frações implícitas, assim temos:

Para resolver x precisamos dividir o lado direito da equação pelo lado esquerdo. Efetuando cada divisão do lado direito pela fração implícita do lado esquerdo temos:

Como x foi definido como sedo ¾, se simplificarmos 120/160, veremos que ele é realmente ¾. A implicação deste resultado é que o produto da recíproca é sempre 1. Terminando o cálculo acima, podemos ver isso claramente:

Portanto, para dividir um número qualquer por uma fração, você deverá sempre multiplicar este número pela recíproca da fração. Embora o método de recíprocas não seja explicitamente utilizado na solução de equações, é exatamente isso que estamos fazendo, observe:

Contudo, se você multiplicar ambos os lados da equação explicitamente pela recíproca de 3, você obtém o mesmo resultado:

Frações com numeradores ou denominadores iguais a zero

Se você é confrontado com uma fração cujo numerador é igual a zero, não se preocupe. Numeradores iguais a zero resultam em zero, desde que o denominador seja diferente de zero. Por exemplo:

Porém, quando o denominador é zero caímos em uma indeterminação matemática:

Como sabemos que qualquer número multiplicado por zero é zero, não existe um número determinado que ao substituirmos a ‘?’ resulte em 3.